广度和深度优先搜索

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什么是“搜索”算法？

我们知道，算法是作用于具体数据结构之上的，广度优先搜索算法和深度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成图。图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如下面的两种最简单、最“暴力”的广度优先、深度优先搜索，还有 A*、IDA* 等启发式搜索算法。

我这里先给出图的代码实现：

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public class Graph 
{ 
    // 无向图
    private int v;                     // 顶点的个数
    private LinkedList<Integer> adj[]; // 邻接表

    public Graph(int v) 
    {
        this.v = v;
        adj = new LinkedList[v];
        for (int i=0; i<v; ++i) 
        {
            adj[i] = new LinkedList<>();
        }
    }

    public void addEdge(int s, int t) 
    { 
        // 无向图一条边存两次
        adj[s].add(t);
        adj[t].add(s);
    }
}

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First Search），我们平常都简称 BFS。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来并不难，所以我画了一张示意图：

尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。这里面，bfs() 函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中 s 表示起始顶点，t 表示终止顶点，我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径：

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public void bfs(int s, int t) 
{
    if (s == t)
    {
        return;
    }
    boolean[] visited = new boolean[v];
    visited[s] = true;
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(s);
    int[] prev = new int[v];
    for (int i = 0; i < v; ++i) 
    {
        prev[i] = -1;
    }
    while (queue.size() != 0) 
    {
        int w = queue.poll();
        for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) 
        {
            int q = adj[w].get(i);
            if (!visited[q]) 
            {
                prev[q] = w;
                if (q == t) 
                {
                    print(prev, s, t);
                    return;
                }
                visited[q] = true;
                queue.add(q);
            }
        }
    }
}

private void print(int[] prev, int s, int t) 
{ 
    // 递归打印 s->t 的路径
    if (prev[t] != -1 && t != s) 
    {
        print(prev, s, prev[t]);
    }
    System.out.print(t + " ");
}

这段代码不是很好理解，里面有三个重要的辅助变量 visited、queue、prev：

  • visited：用来记录已经被访问的顶点，避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q]会被设置为 true；
  • queue：用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第 k 层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k+1 层的顶点。当我们访问到第 k 层的顶点的时候，我们需要把第 k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k+1 层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能；
  • prev：用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3，那 prev[3]就等于 2；

为了方便你理解，我画了一个广度优先搜索的分解图：


最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

你可以看我画的这幅图。搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。我用深度递归算法，把整个搜索的路径标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径：

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点 t 之后，我们就不再递归地继续查找了：

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boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) 
{
    found = false;
    boolean[] visited = new boolean[v];
    int[] prev = new int[v];
    for (int i = 0; i < v; ++i) 
    {
        prev[i] = -1;
    }
    recurDfs(s, t, visited, prev);
    print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) 
{
    if (found == true) 
    {
        return;
    }
    visited[w] = true;
    if (w == t) 
    {
        found = true;
        return;
    }
    for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i) 
    {
        int q = adj[w].get(i);
        if (!visited[q]) 
        {
            prev[q] = w;
            recurDfs(q, t, visited, prev);
        }
    }
}

从我前面画的图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数。深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)。

如何找出社交网络中的三度好友关系

这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。我们只需要稍加改造一下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，非常容易就可以找出三度好友关系。