排序

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最经典的、最常用的排序算法：冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序。我按照时间复杂度把它们分成了三类：

如何分析一个“排序算法”？

学习排序算法，我们除了学习它的算法原理、代码实现之外，更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。

排序算法的执行效率

对于排序算法执行效率的分析，我们一般会从这几个方面来衡量：

  1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度：为什么要区分这三种时间复杂度呢？第一，有些排序算法会区分，为了好对比，所以我们最好都做一下区分。第二，对于要排序的数据，有的接近有序，有的完全无序。有序度不同的数据，对于排序的执行时间肯定是有影响的，我们要知道排序算法在不同数据下的性能表现；
  2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶：我们知道，时间复杂度反映的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中，我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来；
  3. 比较次数和交换（或移动）次数：基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去；

排序算法的内存消耗

针对排序算法的空间复杂度，我们还引入了一个新的概念，原地排序（In-Place Sorting）。原地排序算法，就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法。

排序算法的稳定性

针对排序算法，我们还有一个重要的度量指标，稳定性。这个概念是说，如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。

在真正软件开发中，我们要排序的往往不是单纯的整数，而是一组对象，我们需要按照对象的某个 key 来排序。比如说，我们现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性，一个是下单时间，另一个是订单金额。如果我们现在有 10 万条订单数据，我们希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单，我们希望按照下单时间从早到晚有序。

借助稳定排序算法，这个问题可以非常简洁地解决。解决思路是这样的：我们先按照下单时间给订单排序，注意是按照下单时间，不是金额。排序完成之后，我们用稳定排序算法，按照订单金额重新排序。两遍排序之后，我们得到的订单数据就是按照金额从小到大排序，金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后，所有的订单按照下单时间从早到晚有序了。在第二次排序中，我们用的是稳定的排序算法，所以经过第二次排序之后，相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚有序：

冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

我用一个例子，带你看下冒泡排序的整个过程。我们要对一组数据 4, 5, 6, 3, 2, 1，从小到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样：

可以看出，经过一次冒泡操作之后，6 这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序，我们只要进行 6 次这样的冒泡操作就行了：

实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。我这里还有另外一个例子，这里面给 6 个元素排序，只需要 4 次冒泡操作就可以了：

冒泡排序算法的原理比较容易理解，具体的代码我贴到下面：

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// 冒泡排序，a 表示数组，n 表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
    if (n <= 1) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        // 提前退出冒泡循环的标志位
        boolean flag = false;
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (a[j] > a[j+1]) { 
                // 交换
                int tmp = a[j];
                a[j] = a[j+1];
                a[j+1] = tmp;
                flag = true; // 表示有数据交换      
            }
        }
        // 没有数据交换，提前退出
        if (!flag) break;
    }
}

冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是 O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，我们需要进行 n 次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为 O(n^2)：

对于包含 n 个数据的数组，这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如我们前面举的那两个例子，其中一个要进行 6 次冒泡，而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度，涉及的数学推理和计算就会很复杂。我这里还有一种思路，通过有序度和逆序度这两个概念来进行分析。

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：

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有序元素对：a[i] <= a[j], 如果 i < j

同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6, 5, 4, 3, 2, 1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，比如 1, 2, 3, 4, 5, 6，有序度就是 n*(n-1)/2，也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。逆序度 = 满有序度 - 有序度，我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。

我还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是 4, 5, 6, 3, 2, 1 ，其中，有序元素对有 (4，5)、 (4，6)、(5，6)，所以有序度是 3。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15：

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加 1。不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度。对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n*(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n*(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。

换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n^2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n^2)。这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格，但是很多时候很实用，毕竟概率论的定量分析太复杂，不太好用。

插入排序（Insertion Sort）

我们先来看一个问题。一个有序的数组，我们往里面添加一个新的数据后，如何继续保持数据有序呢？很简单，我们只要遍历数组，找到数据应该插入的位置将其插入即可：

这是一个动态排序的过程，即动态地往有序集合中添加数据，我们可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据，我们也可以借鉴上面讲的插入方法，来进行排序，于是就有了插入排序算法。首先，我们将数组中的数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间中元素为空，算法结束。

如图所示，要排序的数据是 4, 5, 6, 1, 3, 2，其中左侧为已排序区间，右侧是未排序区间：

插入排序也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。为什么说移动次数就等于逆序度呢？我拿刚才的例子画了一个图表，你一看就明白了。满有序度是 n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是 5，所以逆序度是 10。插入排序中，数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4：

我也将代码实现贴在这里，你可以结合着代码再看下：

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// 插入排序，a 表示数组，n 表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
    if (n <= 1) {
        return;
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int value = a[i];
        int j = i - 1;
        // 查找插入的位置
        for (; j >= 0; --j) {
            if (a[j] > value) {
                a[j+1] = a[j]; // 数据移动
            } 
            else {
                break;
            }
        }
        a[j+1] = value; // 插入数据
    }
}

从实现过程可以很明显地看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。

如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n^2)。

我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n^2)。

选择排序（Selection Sort）

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾：

选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O(n^2)。选择排序是一种不稳定的排序算法。从我前面画的那张图中，你可以看出来，选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。比如 5, 8, 5, 2, 9 这样一组数据，使用选择排序算法来排序的话，第一次找到最小元素 2，与第一个 5 交换位置，那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了，所以就不稳定了。

为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎

我们前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到，冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要 3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个：

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// 冒泡排序中数据的交换操作
if (a[j] > a[j+1]) { 
    // 数据交换
    int tmp = a[j];
    a[j] = a[j+1];
    a[j+1] = tmp;
    flag = true;
}

// 插入排序中数据的移动操作
if (a[j] > value) {
    // 数据移动
    a[j+1] = a[j];
} 
else {
    break;
}

我们把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间（unit_time），然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序，需要 K 次交换操作，每次需要 3 个赋值语句，所以交换操作总耗时就是 3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。所以，虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的，都是 O(n^2)，但是如果我们希望把性能优化做到极致，那肯定首选插入排序。

这三种时间复杂度为 O(n^2) 的排序算法中，冒泡排序、选择排序，可能就纯粹停留在理论的层面了，学习的目的也只是为了开拓思维，实际开发中应用并不多，但是插入排序还是挺有用的。有些编程语言中的排序函数的实现原理会用到插入排序算法：

归并排序的原理

归并排序（Merge Sort）的核心思想还是蛮简单的。如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了：

归并排序使用的就是分治思想。分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。分治算法一般都是用递归来实现的，分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧，这两者并不冲突。

写递归代码的技巧就是，分析得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。所以，要想写出归并排序的代码，我们先写出归并排序的递推公式：

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// 递推公式
merge_sort(p...r) = merge(merge_sort(p...q), merge_sort(q+1...r))

// 终止条件
p >= r

有了递推公式，转化成代码就简单多了。为了阅读方便，我这里只给出伪代码：

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// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
    merge_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
    // 递归终止条件
    if p >= r then return
    // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
    q = (p + r) / 2
    // 分治递归
    merge_sort_c(A, p, q)
    merge_sort_c(A, q+1, r)
    // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
    merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

你可能已经发现了，merge(A[p…r], A[p…q], A[q+1…r]) 这个函数的作用就是，将已经有序的 A[p…q] 和 A[q+1…r] 合并成一个有序的数组，并且放入 A[p…r]。那这个过程具体该如何做呢？

我们申请一个临时数组 tmp，大小与 A[p…r] 相同。我们用两个游标 i 和 j，分别指向 A[p…q] 和 A[q+1…r] 的第一个元素。比较这两个元素 A[i] 和 A[j]，如果 A[i]<=A[j]，我们就把 A[i] 放入到临时数组 tmp，并且 i 后移一位，否则将 A[j] 放入到数组 tmp，j 后移一位。继续上述比较过程，直到其中一个子数组中的所有数据都放入临时数组中，再把另一个数组中的数据依次加入到临时数组的末尾。最后再把临时数组 tmp 中的数据拷贝到原数组 A[p…r] 中，如图所示：

我们把 merge() 函数写成伪代码，就是下面这样：

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merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r]) {
    var i := p, j := q+1, k := 0   // 初始化变量 i, j, k
    var tmp := new array[0...r-p]  // 申请一个大小跟 A[p...r] 一样的临时数组
    while i<=q AND j<=r do {
        if A[i] <= A[j] {
            tmp[k++] = A[i++]
        } 
        else {
            tmp[k++] = A[j++]
        }
    }
    // 判断哪个子数组中有剩余的数据
    var start := i, end := q
    if j<=r then start := j, end := r
    // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
    while start <= end do {
        tmp[k++] = A[start++]
    }
    // 将 tmp 中的数组拷贝回 A[p...r]
    for i := 0 to r-p do {
        A[p+i] = tmp[i]
    }
}

归并排序的性能分析

归并排序稳不稳定关键要看 merge() 函数，也就是两个有序子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入 tmp 数组。这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一个稳定的排序算法。

不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。如果我们定义求解问题 a 的时间是 T(a)，求解问题 b, c 的时间分别是 T(b) 和 T(c)，那我们就可以得到这样的递推关系式：

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T(a) = T(b) + T(c) + K 
// K 等于将两个子问题 b, c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间

套用这个公式，我们来分析一下归并排序的时间复杂度：

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T(1) = C;            // n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C
T(n) = 2*T(n/2) + n; // n>1
     = 2^k * T(n/2^k) + k*n

当 T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到 k=log2n。我们将 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n。如果我们用大 O 标记法来表示的话，T(n) 就等于 O(nlogn)。所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)。从我们的原理分析和伪代码可以看出，归并排序的执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关，所以其时间复杂度是非常稳定的，不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)。

递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。刚刚我们忘记了最重要的一点，那就是，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。

快速排序的原理

快速排序（Quicksort）的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。我们遍历 p 到 r 之间的数据，将小于 pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将 pivot 放到中间。经过这一步骤之后，数组 p 到 r 之间的数据就被分成了三个部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 pivot 的，中间是 pivot，后面的 q+1 到 r 之间是大于 pivot 的：

根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到 r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。如果我们用递推公式来将上面的过程写出来的话，就是这样：

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// 递推公式
quick_sort(p...r) = quick_sort(p...q-1) + quick_sort(q+1...r)

// 终止条件
p >= r

我将递推公式转化成递归代码。跟归并排序一样，我还是用伪代码来实现：

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// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
    quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p, r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
    if p >= r then return
    q = partition(A, p, r) // 获取分区点
    quick_sort_c(A, p, q-1)
    quick_sort_c(A, q+1, r)
}

如果我们不考虑空间消耗的话，partition() 分区函数可以写得非常简单。我们申请两个临时数组 X 和 Y，遍历 A[p…r]，将小于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 X，将大于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 Y，最后再将数组 X 和数组 Y 中数据顺序拷贝到 A[p…r]：

但是，如果按照这种思路实现的话，partition() 函数就需要很多额外的内存空间，所以快排就不是原地排序算法了。如果我们希望快排是原地排序算法，那它的空间复杂度得是 O(1)，那 partition() 分区函数就不能占用太多额外的内存空间，我们就需要在 A[p…r] 的原地完成分区操作：

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partition(A, p, r) {
    pivot := A[r]
    i := p
    for j := p to r-1 do {
        if A[j] < pivot {
            swap A[i] with A[j]
            i := i+1
        }
    }
    swap A[i] with A[r]
    return i
}

这里的处理有点类似选择排序。我们通过游标 i 把 A[p…r-1] 分成两部分。A[p…i-1] 的元素都是小于 pivot 的，我们暂且叫它已处理区间，A[i…r-1] 是未处理区间。我们每次都从未处理的区间 A[i…r-1] 中取一个元素 A[j]，与 pivot 对比，如果小于 pivot，则将其加入到已处理区间的尾部，也就是 A[i]的位置。文字不如图直观，所以我画了一张图来展示分区的整个过程：

因为分区的过程涉及交换操作，如果数组中有两个相同的元素，比如序列 6, 8, 7, 6, 3, 5, 9, 4，在经过第一次分区操作之后，两个 6 的相对先后顺序就会改变。所以，快速排序并不是一个稳定的排序算法。

快排和归并用的都是分治思想，递推公式和递归代码也非常相似，那它们的区别在哪里呢：

可以发现，归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并。而快排正好相反，它的处理过程是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法。我们前面讲过，归并之所以是非原地排序算法，主要原因是合并函数无法在原地执行。快速排序通过设计巧妙的原地分区函数，可以实现原地排序，解决了归并排序占用太多内存的问题。

快速排序的性能分析

快排也是用递归来实现的。对于递归代码的时间复杂度，我前面总结的公式，这里也还是适用的。如果每次分区操作，都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并是相同的。所以，快排的时间复杂度也是 O(nlogn)：

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T(1) = C;            // n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C
T(n) = 2*T(n/2) + n; // n>1

但是，公式成立的前提是每次分区操作，我们选择的 pivot 都很合适，正好能将大区间对等地一分为二。但实际上这种情况是很难实现的。我举一个比较极端的例子。如果数组中的数据原来已经是有序的了，比如 1, 3, 5, 6, 8。如果我们每次选择最后一个元素作为 pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的。我们需要进行大约 n 次分区操作，才能完成快排的整个过程。每次分区我们平均要扫描大约 n/2 个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就从 O(nlogn) 退化成了 O(n^2)。

O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素

我们选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot，对数组 A[0…n-1] 原地分区，这样数组就分成了三部分，A[0…p-1], A[p], A[p+1…n-1]。如果 p+1=K，那 A[p] 就是要求解的元素；如果 K>p+1, 说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1] 区间，我们再按照上面的思路递归地在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理，如果 K<p+1，那我们就在 A[0…p-1] 区间查找：

第一次分区查找，我们需要对大小为 n 的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为 n, n/2, n/4, n/8, n/16, …直到区间缩小为 1。如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。

你可能会说，我有个很笨的办法，每次取数组中的最小值，将其移动到数组的最前面，然后在剩下的数组中继续找最小值，以此类推，执行 K 次，找到的数据不就是第 K 大元素了吗？不过，时间复杂度就并不是 O(n) 了，而是 O(K * n)。当 K 是比较小的常量时，比如 1, 2，那最好时间复杂度确实是 O(n)；但当 K 等于 n/2 或者 n 时，这种最坏情况下的时间复杂度就是 O(n^2) 了。