二分查找

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二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，很多非计算机专业的同学很容易就能理解，但是看似越简单的东西往往越难掌握好，想要灵活应用就更加困难。

无处不在的二分思想

我们现在来做一个猜字游戏：我随机写一个 0 到 99 之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。假设我写的数字是 23，你可以按照下面的步骤来试一试：

假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。为了方便讲解，我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8, 11, 19, 23, 27, 33, 45, 55, 67, 98。还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标：

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

O(logn) 惊人的查找速度

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止：

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2^k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2^k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

logn 是一个非常恐怖的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。我们前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的

二分查找的递归与非递归实现

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据：

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (a[mid] == value) {
            return mid;
        } 
        else if (a[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } 
        else {
            high = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

这个代码我稍微解释一下，low、high、mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0， high=n-1。mid 表示 [low, high] 的中间位置。我们通过对比 a[mid] 与 value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0，就退出。

现在，我就着重强调一下容易出错的 3 个地方：

  1. 循环退出条件：
    注意是 low<=high，而不是 low<high；
  2. mid 的取值：
    实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多；
  3. low 和 high 的更新：
    low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出；

实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单：

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// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
    return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
    if (low > high) {
        return -1;
    }
    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (a[mid] == value) {
        return mid;
    } 
    else if (a[mid] < value) {
        return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
    } 
    else {
        return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
    }
}

二分查找应用场景的局限性

前面我们分析过，二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的：

  1. 二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组：
    数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找；
  2. 二分查找针对的是有序数据：
    如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用；
  3. 数据量太小不适合二分查找：
    如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显；
  4. 数据量太大也不适合二分查找：
    二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。所以，太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了；

如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数

这个问题并不难。我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

我们将问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据。比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7] 的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素：

如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿 8 与区间的中间值 a[4] 比较，8 比 6 大，于是在下标 5 到 9 之间继续查找。下标 5 和 9 的中间位置是下标 7，a[7] 正好等于 8，所以代码就返回了。尽管 a[7] 也等于 8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8 的元素，因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。所以，我换了一种实现方法：

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (a[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } 
        else if (a[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } 
        else {
            if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) {
                return mid;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

我们重点看第 13 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是我们要找的第一个值等于给定值的元素；如果经过检查之后发现 a[mid] 前面的一个元素 a[mid-1] 也等于 value，那说明此时的 a[mid] 肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1] 之间。

实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没 bug，其实更重要。

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素。如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决：

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (a[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } 
        else if (a[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } 
        else {
            if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) {
                return mid;
            }
            else {
                low = mid + 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3, 4, 6, 7, 10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似：

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public int bsearch(int[] a, int n, int value) 
{
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (a[mid] >= value) {
            if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) {
                return mid;
            }
            else { 
                high = mid - 1;
            }
        } 
        else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

如果 a[mid] 小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在 [mid+1, high] 之间，所以，我们更新 low=mid+1。对于 a[mid] 大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid] 是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid] 前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid] 就是我们要找的元素；如果 a[mid-1] 也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在 [low, mid-1] 之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3, 5, 6, 8, 9, 10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。实际上，实现思路也是一样的：

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public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (a[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } 
        else {
            if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) {
                return mid;
            }
            else {
                low = mid + 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

如何快速定位出一个 IP 地址的归属地

当我们想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在 [202.102.133.0, 202.102.133.255] 这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了：

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[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
[202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
[202.102.48.0, 202.102.48.255]    江苏宿迁 
[202.102.49.15, 202.102.51.251]   江苏泰州 
[202.102.56.0, 202.102.56.255]    江苏连云港

现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

LeetCode

Sqrt(x)